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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2011-7-29 9:18
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
手計算でべき根を計算
以前試して途中でやめていた手計算でべき根を計算する方法

目的は有効数字三桁までの平方根を電卓無しで計算する

√R=a.bc

a,b,cはそれぞれ正の整数を表す。小数点以下含めて有効数字三桁あれば十分もっと必要なときも拡張は可能

\begin{eqnarray}<br />R&=&\left(a+\frac{b}{10}+\frac{c}{100}\right)^2<br />\end{eqnarray}

が近似的に成り立つ正の整数a,b,cが存在するものと仮定する。

aを最初に決定する必要がある。とりあえず10000a^2が10000Rを超えない最大の整数をaとして選ぶ。

例えばR=2なら、a=1である。

\begin{eqnarray}<br />R&=&\left(a+\frac{b}{10}+\frac{c}{100}\right)^2\\<br />&=&\frac{\left(100 a+10 b+c\right)^2}{10000}\\<br />10000 R&=&\left(100 a+10 b+c\right)^2\\<br />&=&{c}^{2}+\left( 20\,b+200\,a\right) \,c+100\,{b}^{2}+2000\,a\,b+10000\,{a}^{2}<br />\end{eqnarray}

これにR=2, a=1を代入すると

\begin{eqnarray}<br />20000&=&{c}^{2}+\left( 20\,b+200\right) \,c+100\,{b}^{2}+2000\,b+10000\\<br />10000&=&{c}^{2}+\left( 20\,b+200\right) \,c+100\,{b}^{2}+2000\,b<br />\end{eqnarray}

次に右辺の項2000bが左辺の10000を超えないような最大の整数bを選ぶ。この場合b=4なので代入すると

\begin{eqnarray}<br />10000&=&{c}^{2}+280\,c+9600\\<br />400&=&{c}^{2}+280\,c<br />\end{eqnarray}

同様に、280cが400を超えない最大の整数cを選ぶ、この場合c=1なので有効数字三桁が得られたことになる

もっと有効数字がほしければd/1000の項を追加拡張すれば四桁目まで同様の手順で求められるはず。

これで√2=1.41が得られたことになる。

√6とかでも試してみると

a^2が6を超えない最大の整数はa=2

\begin{eqnarray}<br />10000 R&=&\left(100 a+10 b+c\right)^2\\<br />&=&{c}^{2}+\left( 20\,b+200\,a\right) \,c+100\,{b}^{2}+2000\,a\,b+10000\,{a}^{2}\\<br />60000&=&\left(100 a+10 b+c\right)^2\\<br />&=&{c}^{2}+\left( 20\,b+200\,a\right) \,c+100\,{b}^{2}+2000\,a\,b+10000\,{a}^{2}\\<br />&=&{c}^{2}+20\,b\,c+400\,c+100\,{b}^{2}+4000\,b+40000\\<br />20000&=&{c}^{2}+20\,b\,c+400\,c+100\,{b}^{2}+4000\,b<br />\end{eqnarray}

4000bが20000を超えない最大の整数b=4を代入

\begin{eqnarray}<br />20000&=&{c}^{2}+480\,c+17600\\<br />2400&=&{c}^{2}+480\,c<br />\end{eqnarray}

480cが2400を超えない最大の整数c=4が三桁目

√6=2.44

ということでうまくいく。

小数点を伴う数の平方根も有効桁数内であれば同じようにできるはず。

電卓があったほうが早いね（´Д｀；）

P.S

同じ要領で立方根やn次の根も可能かもしれない。それと実数から複素数への拡張も可能かもしれない。それらは読者の課題としよう( ´∀`)
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題名 投稿者 日時
 » 手計算でべき根を計算 webadm 2011-7-29 9:18

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