とうとう下巻の後半部に突入。

前の章の過渡現象で著者は初等的な微分方程式の解法のみを用いてLaplace変換は用いなかった。

ここでようやく提示ということに。

Laplace変換の提示に際してはHeavisideの演算子法についてはこれっぽちも触れていない。また提示方法もありきたりで、簡明に結果だけを整理してあるが、その応用は演習問題でという形。

まったくつまらないのである。学生時代にLaplace変換の講義を受けた時もほとんど印象に残っていない、単位がとれたのかどうかも怪しい。

ここでは著者が触れていないHeavisideの演算子法とLaplace変換との基本的な違いを考えてみることにする。

Heavisideの演算子法

・測度空間の右半平面上の関数曲線を同じ右半面上の関数曲線に単射かつ全射で対応づける線型作用素方程式



・抵抗演算子を線型作用素の元とした場合、その逆元である逆作用素がただ一つ存在する



・抵抗演算子は一元線型作用素方程式ではpの有理関数。n元作用素方程式では正則行列となり逆行列がただ一つ存在する





・作用素方程式は展開定理もしくは部分分数に分解し項別に予め既知の変換公式もしくはDuhamel定積分によって写像された関数式を得ることが出来る

・初期条件は最初から作用素方程式の右辺に不変量として現れなければならず、後から与えることはできない

・作用素方程式が同次形（右辺が0ベクトル）の場合、解はただ一つ定数0の関数である

・作用素方程式の右辺がtの関数の場合、予め演算子pの関数に変換するか、Duhamel積分を行う必要がある

・計算に際して代表的な解析関数の公式や微積分と定積分以外（複素積分等）の数学知識を必要としない

Laplace変換

・測度空間の右半平面上の関数曲線とs=σ+jωを変数とする複素関数との間の積分変換



・以下の条件を満たすσをσ1とすると、Re s > σ1の領域のすべてのsに関してF(s)が存在する（適用範囲の制限）



・F(s)が部分分数に展開できれば変換対表を使って項別に逆変換することが可能。変換対表に対応する対が無い場合には、上記の複素積分(Bromwithch積分）を使用して逆変換が可能

・微分方程式の両辺を項別Laplace変換し、未知関数のLaplace変換を逆Laplace変換して未知関数解を得ることが出来る



・初期値は導関数をLaplace変換した際にt=0の初期値項、積分をLaplace変換した際に積分初期値項が現れるので、それ以降であれば任意の時点で初期値を与えることが出来る



・Bromwich積分を利用する場合、複素積分の各種定理の理解が必須

上記の特長を比較すると

・Heavisideの演算子法とLaplace変換は類似の変換対や性質がある（両者が同じものだという誤解はここから来る）

・Heavisideの演算子法が同一の時間領域関数の間の写像であるのに対してLaplace変換は時間領域関数と複素関数との間の写像で全く異なる

・Heavisideの演算子法と違って、Laplace変換は定義区間[0,∞]での積分変換であるため関数の収束の問題が生じ適用可能な関数が制限される

・初期値問題を伴う場合、Heavisideの演算子法では作用素方程式の中に初期値を含めるように意図的に方程式をたてなければならないが、Laplace変換ではLaplace変換時に初期値項が伴うるので、いつでも初期値を与えることができる

・Heavisideの演算子法もLaplace変換も部分分数に分解できれば変換対の表で項別に変換することが可能。それが使用できない場合には、前者はDuhamel積分で、後者は複素積分(Bromwich積分）で結果を得ることが出来る。

・Heavisideの演算子法は、微積分と微分方程式までの一般的な基礎数学知識で足りるが、Laplace変換は更に複素関数の理解が不可欠

・Heavisideの演算子に比べ、Laplace変換では伝達関数を定式化し易く応用範囲が広がる（自動制御、電子回路等）



これらを総合的に見ると、Heavisideの演算子法メモの序文の内容が更に納得いくものとなる。Heavisideの演算子法は確かに数学的な知識の敷居は低いのだが、微分方程式を解くのには都合が良いがそれ以外の応用には多少とも敷居は高く適用範囲に制限が加わるとしてもLaplace変換の方が有用ということになる。有用なものは多少敷居が高くても使えるものは使えるようにしたほうが良いということで、大学で演算子法に代わって教えられるようになったのだと理解する。

そう、使えるものは使えるようになったほうが良いのである。

そうした観点からLaplace変換を学んでいくことにしよう。

P.S

国内のテキストではほとんど"ラプラス変換"とカタカナ表記されているが、これだと若い人は"ラブプラス変換"間違えるので、誤解を招かないようにLaplace変換とする。