次ぎの問題は複素電流を計算する少しひねった問題。



インピーダンスとそれに並列に接続した抵抗のそれぞれを流れる電流の実効値とインピーダンスの位相角が既知の場合に回路全体を流れる電流の実効値を求めよというもの

全体を流れる電流と枝電流の関係は

I=I1+I2

で表される。ここでI1は抵抗Rを流れる電流、I2はインピーダンスZを流れる電流でインピーダンスの位相角がφということが解っている場合

I1=E/R
=|E|/R
=|I1|

I2=E/Z
=|E|/(|Z|*(cosφ+j*sinφ))
=|I2|/(cosφ+j*sinφ)
=|I2|*(cosφ-j*sinφ)/((cosφ+j*sinφ)*(cosφ-j*sinφ))
=|I2|*(cosφ-j*sinφ)/(cosφ^2+sinφ^2)
=|I2|*(cosφ-j*sinφ)

と表すことができるので全体を流れる電流は

I=I1+I2
=|I1|+|I2|*(cosφ-j*sinφ)
=|I1|+|I2|*cosφ-j*|I2|*sinφ

従って全体を流れる電流の実効値は

|I|=sqrt((|I1|+|I2|*cosφ)^2+(|I2|*sinφ)^2)
=sqrt(|I1|^2+2*|I1|*|I2|*cosφ+|I2|^2*cosφ^2+|I2|^2*sinφ^2)
=sqrt(|I1|^2+2*|I1|*|I2|*cosφ+|I2|^2*(cosφ^2+sinφ^2))
=sqrt(|I1|^2+2*|I1|*|I2|*cosφ+|I2|^2)

ということになる。

著者の解ではいきなりI2の式を示しているがインピーダンスの位相角が与えられているのだからインピーダンスで割り算する過程があるべきでそれが省略されていてわかり辛い。

次ぎの問題はかなりひねった回路間の電圧を求める問題。



ab間に電圧100Vが加わった場合のcd間及びef間の電圧実効値を求めよというもの。

回路図には抵抗値が併記されているが、抵抗回路ではなく抵抗とインダクタンスとキャパシタンスが混じっていることに注意。記載されているのは抵抗値であったりリアクタンス値だったりする。

cd間の電圧を求めるにはac間とad間の電圧の差を求めれば良いことになる。

ef間の電圧を求めるにはbe間とbf間の電圧の差を求めれば良いとわかる。

これらの電圧を求めるにはやはり全体を流れる電流と枝電流を求める必要がある。

未知数はEcd、Eefそれに電流I,I1,I2ということになるので全部で5元連立方程式をたてる必要がある。

Ecd=Eac-Ead
=I1*R-I2*R
=(I1-I2)*R

Eef=Ebe-Ebf
=I1*R-I2*R1

I=I1+I2

E=I1*(R+jXL+R)=|E|
E=I2*(R-jXC+R1)=|E|

これらからEcd,Eef,I,I1,I2を解くと

(%i120) e1:Ecd=(I1-I2)*R;
(%o120) Ecd=(I1-I2)*R
(%i121) e2:Eef=I1*R-I2*R1;
(%o121) Eef=I1*R-I2*R1
(%i122) e3:I=I1+I2;
(%o122) I=I2+I1
(%i123) e4:E=I1*(R+%i*XL+R);
(%o123) E=I1*(%i*XL+2*R)
(%i124) e5:E=I2*(R-%i*XC+R1);
(%o124) E=I2*(-%i*XC+R1+R)
(%i125) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[Ecd,Eef,I,I1,I2]);
(%o125) [[Ecd=-(R*(%i*E*XL+%i*E*XC-E*R1)+E*R^2)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),Eef=
(-%i*E*R1*XL+R*(-%i*E*XC-E*R1)+E*R^2)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),I=(%i*E*XL-%i*E*XC+E*R1+3*E*R)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),I1=
(-%i*E*XC+E*R1+E*R)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2),I2=(%i*E*XL+2*E*R)/(R*(%i*XL-2*%i*XC+2*R1)+XC*XL+%i*R1*XL+2*R^2)]]
(%i126) rectform(%);
(%o126) [[Ecd=-((E*R^2-E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-R*(E*XL+E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)-
(%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+R*(E*XL+E*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),Eef=
((E*R^2-E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(-E*R1*XL-E*R*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+
(%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(-E*R1*XL-E*R*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I=
((E*R1+3*E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(E*XL-E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+
(%i*((E*R1+3*E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(E*XL-E*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I1=
(E*XC*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(E*R1+E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+
(%i*((E*R1+E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)-E*XC*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I2=
(2*E*R*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-E*XL*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*(2*E*R*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+E*XL*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)]]

それぞれ与えられた定数を代入すると

(%i127) R:200;
(%o127) 200
(%i128) R1:100;
(%o128) 100
(%i130) XL:300;
(%o130) 300
(%i131) XC:400;
(%o131) 400
(%i133) E:100;
(%o133) 100
(%i135)
[[Ecd=-((E*R^2-E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-R*(E*XL+E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL
-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)-(%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+R*(E*XL
+E*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),Eef=((E*R^2
-E*R*R1)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(-E*R1*XL-E*R*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)
+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*((E*R^2-E*R*R1)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(-E*R1*XL
-E*R*XC)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I=((E*R1
+3*E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-(E*XL-E*XC)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2
+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*((E*R1+3*E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+(E*XL-E*XC)*(XC*XL
+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I1=(E*XC*(-R*(XL-2*XC)
-R1*XL)+(E*R1+E*R)*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)
+(%i*((E*R1+E*R)*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)-E*XC*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2
+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2),I2=(2*E*R*(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)-E*XL*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL))/((R*(XL
-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)+(%i*(2*E*R*(-R*(XL-2*XC)-R1*XL)+E*XL*(XC*XL
+2*R*R1+2*R^2)))/((R*(XL-2*XC)+R1*XL)^2+(XC*XL+2*R*R1+2*R^2)^2)]];
(%o135) [[Ecd=8-56*%i,Eef=20-40*%i,I=%i/25+7/25,I1=4/25-(3*%i)/25,I2=(4*%i)/25+3/25]]

ということで

Ecd=8-j56 [V]

|Ecd|=sqrt(8^2+56^2)
=8*sqrt(1+7^2)
=8*sqrt(50)
=40*sqrt(2)
=56.57 [V]

Eef=20-j40 [V]

|Eef|=sqrt(20^2+40^2)
=sqrt(20^2+(20*2)^2)
=20*sqrt(1+2^2)
=20*sqrt(5)
=44.7 [V]

ということになる。

著者の解法は単純に枝電流をそれぞれの直列回路の合成インピーダンスと電圧から得て求め、電位差を計算している。そちらの方が簡単である。

Ecd,Eefを解くには全体を流れる電流を求める必要は無いため実質的には４元連立方程式を解けば済むことになる。

次ぎの問題も前問に似た回路間の電圧を求めるもの



RC直列回路とRL直列回路が並列接続されており、回路の中点の電圧を求めるもの

これもやり方としては同じでそれぞれの直列回路に流れる電流をI1,I2とすると以下の関係が成り立つ

|E|=I1*(R1-jXC)

|E|=I2*(R2+jXL)

Eab=j(XL*I2+XC*I1)

これをI1,I2,Eabについて解くと

(%i1) e1:E=I1*(R1-%i*XC);
(%o1) E=I1*(R1-%i*XC)
(%i2) e2:E=I2*(R2+%i*XL);
(%o2) E=I2*(%i*XL+R2)
(%i3) e3:Eab=%i*(XL*I2+XC*I1);
(%o3) Eab=%i*(I2*XL+I1*XC)
(%i4) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Eab]);
(%o4) [[I1=-(E*(%i*XL+R2))/(R1*(-%i*XL-R2)+XC*(%i*R2-XL)),I2=(%i*E*XC-E*R1)/(R1*(-%i*XL-R2)+XC*(%i*R2-XL)),Eab=-
(%i*E*R1*XL+%i*E*R2*XC)/(R1*(-%i*XL-R2)+XC*(%i*R2-XL))]]
(%i5) factor(%);
(%o5) [[I1=(E*(%i*XL+R2))/(XC*XL+%i*R1*XL-%i*R2*XC+R1*R2),I2=-(E*(%i*XC-R1))/(XC*XL+%i*R1*XL-%i*R2*XC+R1*R2),Eab=
(%i*E*(R1*XL+R2*XC))/(XC*XL+%i*R1*XL-%i*R2*XC+R1*R2)]]
(%i6) rectform(%);
(%o6) [[I1=(%i*E*(XL*(XC*XL+R1*R2)+R2*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)+(E*(R2*(XC*XL+R1*R2)-XL*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),I2=-
(%i*E*(XC*(XC*XL+R1*R2)-R1*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)-(E*(-R1*(XC*XL+R1*R2)-XC*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),Eab=
(%i*E*(R1*XL+R2*XC)*(XC*XL+R1*R2))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)+(E*(R1*XL-R2*XC)*(R1*XL+R2*XC))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)]]

R1=6
R2=8
XC=8
XL=6
E=100

をそれぞれ代入すると

(%i7) R1:6;
(%o7) 6
(%i8) R2:8;
(%o8) 8
(%i9) XC:8;
(%o9) 8
(%i10) XL:6;
(%o10) 6
(%i11) E:100;
(%o11) 100
(%i12)
[[I1=(%i*E*(XL*(XC*XL+R1*R2)+R2*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)
+(E*(R2*(XC*XL+R1*R2)-XL*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),I2=-(%i*E*(XC*(XC*XL
+R1*R2)-R1*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)-(E*(-R1*(XC*XL+R1*R2)
-XC*(R2*XC-R1*XL)))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2),Eab=(%i*E*(R1*XL+R2*XC)*(XC*XL
+R1*R2))/((XC*XL+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)+(E*(R1*XL-R2*XC)*(R1*XL+R2*XC))/((XC*XL
+R1*R2)^2+(R1*XL-R2*XC)^2)]];
(%o12) [[I1=8*%i+6,I2=8-6*%i,Eab=96*%i-28]]

従って

I1=6+j8
I2=8-j6

Eab=-28+j96

|Eab|=sqrt(28^2+96^2)
=sqrt(784+9216)
=sqrt(10000)
=100 [V]

ということになる。

著者の解法とは電位差の極性が異なるが実効値は絶対値なので変わりない。

次ぎの問題は趣向が変わってLとCによるラダー回路のインピーダンスを求めよというもの



見る限り段数も少ないのでLとCによる直並列混成回路と見なすことができる。

右端のLC直列回路から順に

Z1=XL+XC
=jωL+/jωC
=j(ωL-1/ωC)
=j(ω^2*L*C-1)/ωC

それに並列にCが接続されると

Z2=1/(1/XC+1/Z1)
=1/(jωC+ωC/j(ω^2*L*C-1))
=1/(jωC-jωC/(ω^2*L*C-1))
=-j/(ωC*(1-1/(ω^2*L*C-1)))
=-j/(ωC*((ω^2*L*C-2)/(ω^2*L*C-1)))
=-j(ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-2))

それにLが直列に接続されると

Z3=XL+Z2
=jωL-j(ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-2))
=j(ωL-(ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-2)))
=j(ωL*ωC*(ω^2*L*C-2)-(ω^2*L*C-1))/(ωC*(ω^2*L*C-2))
=j(ω^2*L*C*(ω^2*L*C-2)-(ω^2*L*C-1))/(ωC*(ω^2*L*C-2))
=j(ω^4*L^2*C^2-2*ω^2*L*C-ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^2*L*C-2))
=j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^2*L*C-2))

更にCが並列接続され

Z4=1/(1/XC+1/Z3)
=1/(jωC+1/(j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^2*L*C-2)))))
=1/(jωC+(ωC*(ω^2*L*C-2))/(j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)))
=-j/(ωC-(ωC*(ω^2*L*C-2))/(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1))
=-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)-ωC*(ω^2*L*C-2))
=-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1-ω^2*L*C+2))
=-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3))

最後にLが直列に接続

Z=XL+Z4
=jωL-j(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3))
=j(ωL-(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3))
=j(ωL*ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3)-(ω^4*L^2*C^2-3*ω^2*L*C+1))/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3))
=j(ω^6*L^3*C^3-4*ω^4*L^2*C^2+3*ω^2*L*C-ω^4*L^2*C^2+3*ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3))
=j(ω^6*L^3*C^3-5*ω^4*L^2*C^2+6*ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^4*L^2*C^2-4*ω^2*L*C+3))

ということになる。

Maximaで計算するともっとエレガントに

Z=XL+1/(1/XC+1/(XL+1/(1/XC+1/(XL+XC))))

(%i6) Z=%i*o*L+(1/(%i*o*C+1/(%i*o*L+1/(%i*o*C+1/(%i*o*L+1/(%i*o*C))))));
(%o6) Z=1/(1/(1/(1/(%i*o*L-%i/(o*C))+%i*o*C)+%i*o*L)+%i*o*C)+%i*o*L
(%i7) factor(%);
(%o7) Z=(%i*(o^6*C^3*L^3-5*o^4*C^2*L^2+6*o^2*C*L-1))/(o*C*(o^2*C*L-3)*(o^2*C*L-1))

分母が更に以下の様に因数分解できることを示している。

Z=j(ω^6*L^3*C^3-5*ω^4*L^2*C^2+6*ω^2*L*C-1)/(ωC*(ω^2*L*C-3)*(ω^2*L*C-1))

この回路は損失の無い線路の電信方程式のモデルである。更に損失を考慮するとLと直列にRがCと並列にGが加わり分布定数回路のモデルになる。

著者の解は全体を流れる電流を連立方程式をたてて行列式で解き、その逆数にEを乗じることでインピーダンスの式を導いている。

次ぎの問題はRとCのラダー回路で出力端の電圧を求めるというもの



これを解くにはやはり最終段のキャパシタに流れる電流を知る必要がある。それには全体を流れる電流を合成インピーダンスと電源電圧から求め、順次出力側へ向かって分流則で割り出していけば計算できないことはない。しかしもはや数段でもこれは大変である。

方程式だけたてて解くのはMaximaでやらせることにしよう。

各抵抗にながれる電流を電源側からI0,I1,I2とすると以下の関係が成り立つ

|E1|=I0*R+I1*R+I2*R+|E2|

|E1|=I0*R+(I0-I1)/jωC


(I1-I2)/jωC=I2*R+|E2|

|E2|=I2/jωC

この４元連立方程式をI0,I1,I2,E2について解くと

(%i10) e1: E1=I0*R+I1*R+I2*R+E2;
(%o10) E1=I2*R+I1*R+I0*R+E2
(%i11) e2: E1=I0*R+(I0-I1)/(%i*o*C);
(%o11) E1=I0*R-(%i*(I0-I1))/(o*C)
(%i12) e3:(I1-I2)/(%i*o*C)=I2*R+E2;
(%o12) -(%i*(I1-I2))/(o*C)=I2*R+E2
(%i13) e4: E2=I2/(%i*o*C);
(%o13) E2=-(%i*I2)/(o*C)
(%i14) solve([e1,e2,e3,e4],[I0,I1,I2,E2]);
(%o14) [[I0=(o^3*C^3*E1*R^2-4*%i*o^2*C^2*E1*R-3*o*C*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i),I1=-(%i*o^2*C^2*E1*R+2*o*C*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i),I2=-
(o*C*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i),E2=(%i*E1)/(o^3*C^3*R^3-5*%i*o^2*C^2*R^2-6*o*C*R+%i)]]

整理すると

E2=j|E1|/(ω^3*C^3*R^3-6*ω*C*R+j(1-5*ω^2*C^2*R^2))
=|E1|/(1-5*ω^2*C^2*R^2+j(6*ω*C*R-ω^3*C^3*R^3))

著者の解は網目電流法によって各コンデンサを通る３つの閉回路電流に関する方程式をたてて解いた後、最終段のキャパシタに流れる電流にリアクタンスを乗じて電圧を得ている。ここにも誤植があって、Eは本来は題意からすればE1でなければならない。

この回路は電信時代にケルビン卿が伝送路のモデルとして考えていたもので海底電信ケーブルは導体の抵抗とコンデンサだけで出来ていて到底実用にならないと信じていた。後に若い無名の電信技師あがりだったヘビサイドが独学で学んだマクスウェル方程式を応用して電信方程式と呼ばれるLとCによる無損失の伝送路と更に損失を考慮したRLCGモデルの解析を行い、条件によって線路が距離や周波数によらず一定の特性インピーダンスを持ち信号が伝わるという概念を提示したがその手法が斬新なのと学歴が無いためまったく認められなかった。晩年になってやっとケルビン卿がヘビサイドが自分の伝送路モデルを更に改良したという功績をしぶしぶ認めて殿堂入りしたという逸話がある。

電信時代にしてすでに電気を理解するためには高度な応用数学の知識が不可欠あることを奇しくもヘビサイドは体現していたと言える。

次ぎの問題は抵抗とコンデンサとインダクタンスが混じった回路の力率を求めるもの



回路の力率は回路のインピーダンスの偏角をφとした場合にcosφで表されるので、回路の合成インピーダンスがわかれば、

cosφ=R/|Z|

で表される。Rはインピーダンスの実効抵抗値、|Z|はインピーダンスの絶対値である。

回路の合成インピーダンスを求めると

Z=R1+jωL1+1/(jωC+1/(R2+jωL2))

面倒なのでMaximaで

(%i28) Z=R1+%i*o*L1+1/(%i*o*C+1/(R2+%i*o*L2));
(%o28) Z=1/(1/(R2+%i*o*L2)+%i*o*C)+R1+%i*o*L1
(%i29) rectform(%);
(%o29) Z=%i*(o*L1-(o*C-(o*L2)/(R2^2+o^2*L2^2))/((o*C-(o*L2)/(R2^2+o^2*L2^2))^2+R2^2/(R2^2+o^2*L2^2)^2))+R2/((R2^2+o^2*L2^2)*((o*C-(o*L2)/(R2^2+o^2*L2^2))^2+R2^2/(R2^2+o^2*L2^2)^2))+R1
(%i30) factor(%);
(%o30) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2+%i*o^3*C^2*L1*R2^2-%i*o*C*R2^2+R2+o^4*C^2*L2^2*R1-2*o^2*C*L2*R1+R1+%i*o^5*C^2*L1*L2^2
-%i*o^3*C*L2^2-2*%i*o^3*C*L1*L2+%i*o*L2+%i*o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)
(%i31) trigreduce(%);
(%o31) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o^3*C^2*L1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(%i*o*C*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)
+R2/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(o^4*C^2*L2^2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(2*o^2*C*L2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+
R1/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o^5*C^2*L1*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(%i*o^3*C*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-
(2*%i*o^3*C*L1*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(%i*o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)
(%i32) rectform(%);
(%o32) Z=%i*((o^3*C^2*L1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(o*C*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+
(o^5*C^2*L1*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(o^3*C*L2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(2*o^3*C*L1*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+
(o*L2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1))+(o^2*C^2*R1*R2^2)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+
R2/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+(o^4*C^2*L2^2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)-(2*o^2*C*L2*R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+
R1/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)
(%i33) factor(%);
(%o33) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2+%i*o^3*C^2*L1*R2^2-%i*o*C*R2^2+R2+o^4*C^2*L2^2*R1-2*o^2*C*L2*R1+R1+%i*o^5*C^2*L1*L2^2
-%i*o^3*C*L2^2-2*%i*o^3*C*L1*L2+%i*o*L2+%i*o*L1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)
(%i34) rectform(%);
(%o34) Z=(o^2*C^2*R1*R2^2+R2+o^4*C^2*L2^2*R1-2*o^2*C*L2*R1+R1)/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)+
(%i*(o^3*C^2*L1*R2^2-o*C*R2^2+o^5*C^2*L1*L2^2-o^3*C*L2^2-2*o^3*C*L1*L2+o*L2+o*L1))/(o^2*C^2*R2^2+o^4*C^2*L2^2-2*o^2*C*L2+1)

整理すると

Z=(ω^2*C^2*R1*R2^2+R2+ω^4*C^2*L2^2*R1-2*ω^2*C*L2*R1+R1)/(ω^2*C^2*R2^2+ω^4*C^2*L2^2-2*ω^2*C*L2+1)+j(ω^3*C^2*L1*R2^2-ω*C*R2^2+ω^5*C^2*L1*L2^2-ω^3*C*L2^2-2*ω^3*C*L1*L2+ω*L2+ω*L1)/(ω^2*C^2*R2^2+ω^4*C^2*L2^2-2*ω^2*C*L2+1)
=(R1*(ω^4*C^2*L2^2-2*ω^2*C*L2+1)+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2)+jω*(ω^2*C^2*L1*R2^2-C*R2^2+ω^4*C^2*L1*L2^2-ω^2*C*L2^2-2*ω^2*C*L1*L2+L2+L1)/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2)
=(R1*(ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2)+jω*(L1*(1-ω^2*L2*C)^2+ω^2*C^2*L1*R2^2-C*R2^2+L2*(1-ω^2*C*L2^2))/((ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R2^2)


従って

cosφ=(R1*(ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)/sqrt((R1*(ω^2*C*L2-1)^2+ω^2*C^2*R1*R2^2+R2)^2+(ω*(1-ω^2*L2*C)^2+ω^2*C^2*L1*R2^2-C*R2^2+L2*(1-ω^2*C*L2^2))^2)


ということになる。

今度はRLC混成回路に流れる電流の位相角を求めるもの



インダクタンスとキャパシタンスの定数がリアクタンス値で与えられていることに注意

前問と同様に回路の合成インピーダンスを求める必要がある

Z=R+(1/(1/(R1+jXL)+1/(R2-jXC)))

面倒なのでMaximaで

(%i47) Z=R+(1/(1/(R1+%i*XL)+1/(R2-%i*XC)));
(%o47) Z=1/(1/(%i*XL+R1)+1/(R2-%i*XC))+R
(%i48) factor(%);
(%o48) Z=(XC*XL+%i*R2*XL+%i*R*XL-%i*R1*XC-%i*R*XC+R1*R2+R*R2+R*R1)/(%i*XL-%i*XC+R2+R1)
(%i49) rectform(%);
(%o49) Z=(%i*((XC-XL)*(XC*XL+R1*R2+R*R2+R*R1)+(R2+R1)*(R2*XL+R*XL-R1*XC-R*XC)))/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)+
((R2+R1)*(XC*XL+R1*R2+R*R2+R*R1)-(XC-XL)*(R2*XL+R*XL-R1*XC-R*XC))/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)

整理すると

Z=((R2+R1)*(XC*XL+R1*R2+R*(R2+R1))+(XL-XC)*(R2*XL-R1*XC+R*(XL-XC))/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)+j(-(XL-XC)*(XC*XL+R1*R2+R*(R2+R1))+(R2+R1)*(R2*XL-R1*XC+R*(XL-XC)))/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)
=((R2+R1)*(XC*XL+R1*R2)+R*(R2+R1)^2+(XL-XC)*(R2*XL-R1*XC)+R*(XL-XC)^2)/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)+j((R2+R1)*(R2*XL-R1*XC)+R*(R2+R1)*(XL-XC)-(XL-XC)*(XC*XL+R1*R2)-R*(R2+R1)*(XL-XC))/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)
=((R2+R1)*(XC*XL+R1*R2)+R*(R2+R1)^2+(XL-XC)*(R2*XL-R1*XC)+R*(XL-XC)^2)/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)+j((R2+R1)*(R2*XL-R1*XC)-(XL-XC)*(XC*XL+R1*R2))/((XL-XC)^2+(R2+R1)^2)

ということになり位相角は

φ=atan(((R2+R1)*(R2*XL-R1*XC)-(XL-XC)*(XC*XL+R1*R2))/((R2+R1)*(XC*XL+R1*R2)+R*(R2+R1)^2+(XL-XC)*(R2*XL-R1*XC)+R*(XL-XC)^2))

ということになる。

次ぎの問題は未知のインピーダンスが存在し、その実効抵抗と実効リアクタンスを直列に抵抗を接続した回路に電圧を加えて抵抗と未知のインピーダンスのそれぞれの電圧降下から求めよというもの



電源電圧の実効値とR0の抵抗値とその電圧降下とインピーダンスZの電圧降下の実効値のみがわかっている時にどのような関係が成り立っているか知っている必要がある。



図から以下の関係が成り立つ

|I|*R0=70

|Z|*|I|=sqrt(R^2+X^2)*|I|=150

|Z0|*|I|=sqrt(R0+R)^2+X^2)*|I|=200

これらの方程式からI,R,Xに関して解くと

(%i1) e1: I*R0=70;
(%o1) I*R0=70
(%i5) e2:(R^2+X^2)*I^2=150^2;
(%o5) I^2*(X^2+R^2)=22500
(%i6) e3:((R0+R)^2+X^2)*I^2=200^2;
(%o6) I^2*(X^2+(R0+R)^2)=40000
(%i7) solve([e1,e2,e3],[I,R,X]);
(%o7) [[I=70/R0,R=(9*R0)/7,X=-(12*R0)/7],[I=70/R0,R=(9*R0)/7,X=(12*R0)/7]]

従って

R=(9*R0)/7
=(9*7)/7
=9 [Ω]

X=±(12*R0)/7
=±(12*7)/7
=±12 [Ω]

ということになる。

著者の解も基本的には同じ考えである。

次ぎも未知のインピーダンスの実効抵抗と実効リアクタンスを求めるもの、今度は予め力率の判明している容量性負荷だということと抵抗とキャパシタンスを直列に接続した後の力率もわかっているという条件



これに関しても与えられている係数と未知の係数の関係をはっきりさせよう。



図より

R/sqrt(R^2+X^2)=0.8

(R0+R)/sqrt((R0+R)^2+(X0+X)^2)=0.6

この２つの式からR,Xを解くと

(%i1) e1:R^2/(R^2+X^2)=0.8^2;
(%o1) R^2/(X^2+R^2)=0.64
(%i2) e2:(R0+R)^2/((R0+R)^2+(X0+X)^2)=0.6^2;
(%o2) (R0+R)^2/((X0+X)^2+(R0+R)^2)=0.36
(%i3) solve([e1,e2],[R,X]);
`rat' replaced -0.64 by -16/25 = -0.64
`rat' replaced -0.36 by -9/25 = -0.36
(%o3) [[R=-(12*X0+16*R0)/7,X=(9*X0+12*R0)/7],[R=-(12*X0+16*R0)/25,X=-(9*X0+12*R0)/25],[R=(12*X0-16*R0)/25,X=-
(9*X0-12*R0)/25],[R=(12*X0-16*R0)/7,X=(9*X0-12*R0)/7]]

従って

R=(12*X0-16*R0)/7
=(12*5-16*2)/7
=4*(3*5-4*2)/7
=4*(15-8)/7
=4 [Ω]

X=(9*X0-12*R0)/7
=(9*5-12*2)/7
=3*(3*5-4*2)/7
=3*(15-8)/7
=3 [Ω]

ということになる。

次ぎの問題は少しひねった問題で、指定の力率にするための回路定数を求めよというもの



R1とR2を未知数として連立方程式をたててみると

Y1=1/R1

Y2=1/(R2-jXC)
=(R2+jXC)/((R2-jXC)*(R2+jXC))
=(R2+jXC)/(R2^2+XC^2)

Y[b]=[b]Y1[b]+[b]Y2
=1/R1+(R2+jXC)/(XC^2+R2^2)
=((XC^2+R2^2)+R1*(R2+jXC))/(R1*(XC^2+R2^2))
=((XC^2+R2^2)+R1*R2+jR1*XC)/(R1*(XC^2+R2^2))

枝電流が等しいということなので２つのアドミッタンスの絶対値が等しいという条件が成り立つ

|Y1|=|Y2|=1/R1
=sqrt((R2/(XC^2+R2^2))^2+(XC/(XC^2+R2^2))^2)
=1/sqrt(XC^2+R2^2)

全体の力率が0.8であることから

cosφ=((((XC^2+R2^2)+R1*R2)/(R1*(XC^2+R2^2))))/sqrt((((XC^2+R2^2)+R1*R2)/(R1*(XC^2+R2^2)))^2+(R1*XC/(R1*(XC^2+R2^2)))^2)
=0.8

この２つの式よりR1,R2を解くと

(%i7) e1:(1/R1)^2=1/(XC^2+R2^2);
(%o7) 1/R1^2=1/(XC^2+R2^2)
(%i8) e2:((((XC^2+R2^2)+R1*R2)/(R1*(XC^2+R2^2))))^2/((((XC^2+R2^2)+R1*R2)/(R1*(XC^2+R2^2)))^2
+(R1*XC/(R1*(XC^2+R2^2)))^2)=0.8^2;
(%o8) (XC^2+R2^2+R1*R2)^2/(R1^2*(XC^2+R2^2)^2*((XC^2+R2^2+R1*R2)^2/(R1^2*(XC^2+R2^2)^2)+XC^2/(XC^2+R2^2)^2))=0.64
(%i9) solve([e1,e2],[R1,R2]);
`rat' replaced -0.64 by -16/25 = -0.64
(%o9) [[R1=(25*XC)/24,R2=(7*XC)/24],[R1=0,R2=-%i*XC],[R1=0,R2=%i*XC],[R1=-(25*XC)/24,R2=-(7*XC)/24]
]

整理すると

R1=(25*XC)/24

R2=(7*XC)/24

R1の式から

XC=24*R1/25

これをR2の式に代入すると

R2=(7*24*R1/25)/24
=7*R1/25

従って

R2/R1=7/25

ということになる。

これはインピーダンスから求めた著者の解と等価である。